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Montag, 2. Juni 2014

Lineare und Systemgleichungen



Lösung zu Gleichsetzungsverfahren ►►
Lösung zu Einsetzungsverfahren ►►
Lösungen zu Additionsverfahren ►►
Lösungen zu Freiwilliges Verfahren ►►
Lösung zu Aufgabe 8 ►►
Lösung zu Aufgabe 9 ►►





  1. Lösung zu Aufgabe 1 ►►
    2.
  2. Lösung zu Aufgabe 2 ►►
    3.
    Gleichsetzungsverfahren
  3. a)
    		y = - x + 8 (I)
    y = x - 2  (II)
    (II) = (I)
    ==> - x + 8 = x - 2 | +x rechnen
    ==> 8 = 2x - 2 | +2 rechnen
    ==> 10 = 2x | :2 rechnen
    ==> x = 5 (III)

    (III) in eine der Beide Gleichungen einsetzen, am bestens die leichte (II)
    ==> y = 5 - 2 = 3 ==> y = 3

    Die Lösungsmenge ist: L = {3; 5} 
    ◄◄ zu den Aufgaben

    b)
    		1/2·x = 3y + 7 (I)
    1/2·x - 5y = 15 (II)
    Die zweite Gleichung nach "1/2·x" schreiben:
    ==> 1/2·x - 5y = 15 |*(+5y) rechnen
    ==> 1/2·x = 5y + 15 (III)
    (I) = (III) <==> 3y + 7 = 5y + 15 | -3y
    7 = 2y + 15 | -15
    - 8 = 2y | :2
    ==> y = - 4 (IV)

    (IV) in (I), (II) oder (III) einsetzen:
    in (III) zum Beispiel: 1/2·x = 5(-4) + 15
    ==> 1/2·x = - 5 | ·2
    ==> x = - 10

    4. Die Lösungsmenge ist: L = {- 10; - 4}
    ◄◄ zu den Aufgaben

    Einsetzungsverfahren
    c)
    		3x - 2y = 2 (I)
    2y = 4x + 2 (II)
    Die zweite Gleichung direkt in der erste einsetzen:
    ==> 3x - (4x + 2) = 2 | ausklammern
    ==> 3x - 4x - 2 = 2 | +2 rechnen
    - x = 4 | ==> x = - 4 (III)

    (III) in (II) einsetzen:
    2y = 4(-4) + 2
    2y = - 14 | :2
    ==> y = - 7

    Die Lösungsmenge ist: L = {- 7; - 4}
    ◄◄ zu den Aufgaben

    d)
    		11y - 15x = 4 (I)
    x = 3y - 15 (II)
    (II) in (I)einsetzen:
    11y - 15(3y - 15) = 4 | -225
    - 34y = -221 | :(-34)
    ==> y = 6,5 (III)

    (III) in (II) einsezten:
    x = 3(6,5) - 15 | ==> x = 4,5

    Die Lösungsmenge ist: L = {4,5; 6,5}
    ◄◄ zu den Aufgaben

  4. Additionsverfahren
    a)
    		2x - y = 2 (I)
    y - x = 14 (II)
    <==>
    		2x - y = 2 (I)
    -x + y = 14 (II)

                             ---------------------- beide Gleichungen addieren

    ==> x = 16 (III)
    (III) in (II) einsetzen:
    - 16 + y = 14 | +16
    ==> y = 30

    Die Lösungsmenge ist: L = {16; 30}
    ◄◄ zu den Aufgaben

    b)
    		5u + 9v - 42 = 0 (I)
    10u + 3v - 39 = 0 (II)

    		 5u + 9v - 42 = 0 (I) ·(+42)
    10u + 3v - 39 = 0 (II) ·(+39)
    <==>
    		5u + 9v = 42 (I) ·2
    10u + 3v = 39 (II)
    <==>
    		- 10u - 18v = - 84
    10u + 3v = 39
    Gleichung addieren: ==> - 15v = - 45 | :(-15)
    ==> v = 3 (III)

    (III) in (I) einsetzen:
    ==> 5u + 9(3) = 42 | -27
    5u = 15 | :5
    ==> u = 3

    Die Lösungsmenge ist: L = {3; 3}
    ◄◄ zu den Aufgaben

    c)
    		1/2· x = 1/3· y + 1 (I)
    1/2· x = 4/3· y - 10 (II)

    		 1/2· x = 1/3· y + 1 (I)
    1/2· x = 4/3· y - 10 (II) | ·(-1)
    <==>
    		1/2· x = 1/3· y + 1 (I)
    - 1/2· x = - 4/3· y + 10 (II)
    Beide Gleichungen addieren: ==> 0 = - y + 11 | -11 ==> y = 11 (III)

    (III) in (I) einsetzen:
    1/2· x = 1/3·(11) + 1
    1/2· x = 14/3 | ·2
    ==> x = 28/3 = 9,33
    Die Lösungsmenge ist: L = {9,33; 11}
    ◄◄ zu den Aufgaben

    d)
    		3k - 6m = 15 (I)
    - 1/2·k + m = - 5/2 (II)

    		 3k - 6m = 15 (I)
    - 1/2·k + m = - 5/2 (II) | ·6
    <==>
    		3k - 6m = 15 (I)
    - 3k + 6m = - 15 (II)
    Die Gleichungen sind genau so gleich, also Das System hat keine Lösung oder eine Triviale Wahre Lösung ==> Falsche Aussage!

    5. Löse nach einem möglischt günstigen Verfahren
  5. a)
    		9x + 4y = 37 (I)
    y = 6x + 1 (II)  
    Das Einsetzungsverfahren in günstig für dieses Gleichungssytem.
    so wird (II) in (I) eingesetzt:
    ==> 9x + 4(6x + 1) = 37 ausklammern
    9x + 24x + 4 = 37 | -4
    33x = 33 | :33
    ==> x = 1 (III)

    (III) in (II) enisetzen:
    y = 6(1) + 1 = 7

    Die Lösungsmenge ist: L = {1; 7}
    ◄◄ zu den Aufgaben

    b)
    		6x + 4y = 9 (I)
    6x - 5y = - 18 (II)  
    Das Additionsverfahren ist am bestens!

    		 6x + 4y = 9 (I)
    6x - 5y = - 18 (II) | ·(-1) 
    <==>
    		6x + 4y = 9 (I)
    - 6x + 5y = 18 (II) 
    Beide Gleichungen addieren: ==> 9y = 27 | :9 wird y = 3 (III)

    (III) in (I) einsetzen:
    ==> 6x + 4(3) = 9 | -12
    6x = - 3 | :6
    ==> x = - 1/2
    Die Lösungsmenge ist: L = {- 1/2; 3}
    ◄◄ zu den Aufgaben

    c)
    		x = 2y - 4 (I)
    4x + 7y = 1 (II) 

    Einsetzungsverfahren, (I) in (II) einsetzen und ausrechnen:
    ==> 4(2y - 4) + 7y = - 1
    8y - 16 + 7y = - 1 | +16
    15y = 15 | :15
    ==> y = 1 (III)
    (III) in (I):
    x = 2(1) - 4 = - 2
    Die Lösungsmenge ist: L = {- 2; 1}
    ◄◄ zu den Aufgaben

    Lösung zu diesen Augaben sind noch in Bearbeitung, du kannst aber selbst versuchen !!!

    d)
    		3x + 2y = 4 (I)
    4x - 5y = - 10 (II) 


    e)
    		3r + 2s = 2 (I)
    6r - 8s = - 2 (II) 


    f)
    		2x = 2y - 4 (I)
    3x - 3y = - 5 (II) 


    g)
    		3x + 4,5y = 1,5 (I)
    - 2,5x - 3y = - 1 (II) 


    h)
    		y = 3x - 2 (I)
    2y - 6x = - 4 (II) 


  6. a)
    		2,2x + 0,9y = 4,4 (I) | ·(-3)
    2,6x + 2,7y = 8,8 (II) 
    Additionsverfahren ist günstig hier! So ist die Gleichung (I) mal (-3) multipliziert...
    <==>
    		6,6x - 2,7y = - 13,2 (I)
    2,6x + 2,7y = 8,8 (II) 
    Beide Gleichungen addieren: ==> - 4,0x = - 4,4 | :(-4)
    ==> x = 1,1 (III)
    (III) in (I) einsetzen:
    ==> 2,2(1,1) + 0,9y =4,4 | -2,42
    0,9y = 1,98 | :0,9
    ==> y = 2,2
    Die Lösungsmenge ist: L = {1,1; 2,2}
    ◄◄ zu den Aufgaben

    b)
    		1,5x + 2,5y = 3,5 (I)
    2,1x - 3,5y = - 4,9 (II) 
    Wieder Additionsverfahren! hier kann man als Brueche umwandeln oder die x / y zwischen sich dividieren um zu wissen womit man multipliziert kann und das kurzen zu ermoeglichen! Ich mache aber mit Brueche!!!
    Das System wird denn so geschrieben:

    		 3/2·x + 5/2·y = 7/2 (I)
    21/10·x - 7/2·y = - 49/10 (II) 
    Beide auf gleiche Nenner setzen:
    <==>
    		3x + 5y = 7 (I) | ·7
    21x - 35y = - 49 (II) 
    <==>
    		21x + 35y = 49 (I)
    21x - 35y = - 49 (II) 
    Beide Gleichungen addieren: ==> 42x = 0 | :42
    ==> x = 0 (III)
    (III) in (I):
    5y = 7 | :5
    ==> y = 7/5 ≈ 1,4
    Die Lösungsmenge ist: L = {0; 1,4}
    ◄◄ zu den Aufgaben

    c)
    		10(x - 2) - 4(y + 1) = 26 (I)
    9(x + 1) - 6(y - 2) = 54 (II) 
    Erstmal ausklammern und zusammenfassen:
    <==>
    		10x - 4y = 50 (I) | ·(-6)
    9x - 6y =33 (II)  | ·4
    (I) mal (-6) und (II) mal (4):
    <==>
    		- 60x + 24y = - 300 (I)
    36x - 24y = 132 (II) 
    Beide Gleichungen addieren: ==> 24x = 168 | :24
    ==> x = 7 (III)
    (III) in (II):
    9(7) - 6y = 33 | -63
    - 6y = - 30 | :(-6)
    ==> y = 5
    Die Lösungsmenge ist: L = {5; 7}
    ◄◄ zu den Aufgaben

  7. seien:
    x = Einzelzimmer mit x Bett und 78 Zimmer
    y = Doppelzimmer mit 2y Betten und 119 Betten
    Das ganze wird in einem Gleichungssystem interpretiert wie folgt:

    		x + y = 78 (I) ·(-1)
    x + 2y = 119 (II) 
    <==>
    		- x - y = - 78 (I)
    x + 2y = 119 (II) 
    Beide Gleichungen addieren: ==> y = 41 (III)
    (III) in (I):
    x + 41 = 78 | -41
    ==> x = 37
    Das Gasthaus hat 37 Einzelzimmer und 82 Doppelzimmer!!!
    Die Lösungsmenge ist: L = {37; 41}
    ◄◄ zu den Aufgaben

  8. Skizze des Rechtecks


    Gegeben:
    - U = 28,8cm;
    - A − 17,35cm = (x = 4,5cm)(y − 3,5)
    Bekannt bei dem Rechteck:
    - U = 2(x + y) und A = x · y
    Gesucht: x, y und A
    daraus folgt das Gleichungssystem:

    		 x + y = 14.4cm (I)
    (x + 4.5)(y − 3,5) = x·y − 17.35 cm² (II) 
    Mit Additionsverfahren rechnen:
    ⇔
    		x + y = 14.4cm (I)   |  ·3,5 (mal 3,5)
    x·y − 3,5x + 4,5y − 15,75 = x·y − 17.35 cm² (II)
    (aus (II) x·y weg kurzen, 15,75 und − 17.35 zusammen rechen)
    ⇔
    		3,5x + 3,5y = 50.4cm
    − 3,5x + 4,5y = − 1.6
    ----------------------------- (Beide zusammen addieren)
    0,0x + 8,0y = 48,8 ⇒ y = 6,1cm  (III)
    (III) in (I) einsetzen:
    ⇒ x + 6,1 = 14.4 und x = 8,3cm.


  9. Gegeben:
    - Durchschnittsgeschwindigkeit Hinfarht: V1 = 4,5km/h + 1,5km/h (Strömungsgeschw.)
    - Durchschnittsgeschwindigkeit Rückfahrt: V2 + 4,5km/h
    - tGesamt = 4h
    Bekannt:
    Generell: S = V · t
    Gesuct: S und tGesamt (mit Strömungsgeschw.)
    SGesamt = VGesamt · tGesamt = 4.5km/h · 4 = 18km , ⇒ S = 18km
    Normalerweise mit 4,5km/h, legt der Kajakfahrer 9km hin und 9km zurück in 4 Stunde (2h hin und 2h zurück)
    Aber mit der Strömungsgeschwindigkeit wird die Hinfahrt um 1.5km/h beschleunigt!
    Also:
    - die Zeit auf der Rückfahrt ist: t2 = S2/V2 = 9/4,5 = 2h
         t2 = 2h;
    - Zeit auf der Hinfahrt: t1 = S1/V1 = 9/4,5 + 1,5 = 1,5h
         t1 = 1,5h;

    Die Hinfahrt dauert 1,5h, die Rückfahrt 2h und die Strecke ist 18km lang.
    Lösung zu 1:
  1. Aufgabe 1
    2.  a)

    b)

    c)

    d)
    Lösung zu 2:
  2. Aufgabe 2
    3.  a) x + y = 4 | -x (y nach x rechnen)
    ==> y = - x + 4 (das ist die Funktionsgleichung!)
    Die x-Koordinate jeder Punkt in der Gleichung einsetzen um y zu finden. Wenn es genau stimmt was man bei den Punkte hat, gehört der Punkt zu dem zugehörigen Graph!
    Beispiel:
    - für P1(1|-1): y = - 1 + 4 = 3 ==> für x = 1, y = 3. Was Falsch ist, da sollten wir -1 rausbekommen. Also der Punkt P1(1|-1) gehört nicht zum Graph von y = - x + 4!
    - für P2(9|-5): y = - 9 + 4 = - 5. das stimmt für x = 9, y = - 5 ==> P2 gehört zum Graph der Funktionsgleichung y = - x + 4!

    ...Weiterhin, gehören p3(-1|-3), p4(-0,2|-1) und p5(9|8,2) nicht zum Graph der Gleichung y = - x + 4!

    b) x - y = 0,8 | -x
    - y = 0,8 - x | ·(-1)
    y = x - 0,8 | ==> p4(-0,2|-1) und p5(9|8,2) gehören zu y = x - 0,8!

    Genau das gleiche für c), d), e) und f) machen!!!
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