Loesung zum Logarithmus

Ausführliche Lösungen

1. Finde die Basis
• Die Basis ist 16
log_x 256 = 2
256 = x² | √
x = 16
• Die Basis ist 6
log_x 216 = 3
216 = x³ | ³√
x = 6
• Die Basis ist 7
log_x 343 = 3
343 = x³ | ³√
x = 7
• Die Basis ist 14
log_x 196 = 2
196 = x² | √
x = 14
2. Finde die Zahl
• log₁₉ x = 2
x = 19² ==> x = 361
• log₁₈ x = 3
x = 18³ ==> x = 5832
• log₂₂ x = 2
x = 22² ==> x = 484
3. Berechne
• log₂ 32 = x
log(32) / log(2) = x ==> x = 5
• log₄ 4 = x
log(4) / log(4) = x ==> x = 1
• log₆ 36 = x
log(36) / log(6) = x ==> x = 2
• log₂ 64 = x
log(64) / log(2) = x ==> x = 6


4. Berechne nach x
• log_x 27 = 3
27 = x³ | ³√
x = 3
• log_x 25 = 2
25 = x² | √
x = 5

Logarithmus Berechnen

Logarithmus zur Basis 2: Zweierlogarithmus

Anwendung: Man braucht die Logarithmus um Gleichungen wie y = 5^x, nach x aufzulösen. In anderen Worten eine Gleichung ohne exponentielle (potenzen) schreiben.
Allegemeine Gleichung: y = log_a x <=> x = a^x

Beispiel:

1. y = 2^x    | logarithmieren
   => log₂ y = x
2. y = 5^2x    | logarithmieren
   =>log₅ y = 2x

P.S: Nachdem man x runter gebracht hat, kann man denn die Gleichung nach x rechnen und ohne Probleme!

Rechenregel

• log_a (u * v) = log_a u + log_a v   ==>   Bspl: log₂ (16 * 8) = 4 + 3 = 7
• log_a (u : v) = log_a u - log_a v    ==>   Bspl: log₃ (27 : 9) = log₃27 - log₃ 9 = 3 - 2 = 1
• log_a uⁿ = n * log_a u               ==>   Bspl: log₅ 125⁴ = 4 * log₅ 125 = 4 * 3 = 12
• log_a u = ^{log u}/_{log a}                 ==>   Bspl: log₅ 725 = ^{log 125}/_{log 5} = 4,09

Natürlicher Logarithmus

Ist ein Logarithmus mit der Basis e (eulersche Zahl/Natürliche Zahl), wobei e = 2,718...
Es gilt: y = log_e x und y = lnx ==> log_e x = lnx

Dekadischer Logarithmus

Mit der Basis 10, hat man ein dekadischer Logarithmus oder auch Zehnerlogarithmus genannt. Die Form: y = log₁₀ r oder einfach lgr.

Aufgaben

1. Finde die Basis:
• Der Logarithmus der Zahl 256 ist 2
• Der Logarithmus der Zahl 216 ist 3
• Der Logarithmus der Zahl 343 ist 3
• Der Logarithmus der Zahl 196 ist 2
2. Finde die Zahl
• Der Logarithmus einer Zahl zur Basis 19 ist 2
• Der Logarithmus einer Zahl zur Basis 18 ist 3
• Der Logarithmus einer Zahl zur Basis 22 ist 2
3. Berechne
• log₂ 32
• log₄ 4
• log₆ 36
• log₂ 64
4. Berechne nach x
• log_x 27 = 3
• log_x 25 = 2

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