Lösung zur Trigonometrie (2)

Lösung 3:

Abb. Symmetrisches Trapez

Gegeben: a = 9,2cm, b = 4,0cm, α = 40°
Für ein Symmetrisches Trapez gilt:
• b = d = 4,0cm, AF = GB , FG = DC (c), FD (h) =GC
• α = β = 40°, γ = δ (δ = delta) und α + β + γ + δ = 360°
• Flächeninhalt A = ^{(a + c)·h}/₂
Gesucht: c, h, γ und A
Bekannt:
α + β + γ + δ = 360°
⇒ 40° + 40° + 2γ = 360°  |   −80°
⇒ 2γ = 280   |   ÷2;
⇒ γ = 140°     γ = 140°
γ = δ ⇒ δ = 140°

sin α = ^h/_d  |   ·d
⇒ h = d·sin 40° = 4,0·sin 40°,     h = 2,57cm

tan α = ^h/_AF  |   ·(−1)
⇒ ¹/_{tan α} = ^AF/_h  |   ·h
⇒ AF = ^h/_{tan α} = ^2,57cm/_{tan 40°},     AF = 3,05cm

Die Grundseite a = AF + FG +GB, AF = GB
⇒ a = 2AF + FG   |   −2AF
⇒ FG = a − 2AF = 9,2cm − 2·3,05cm,     FG = 3,1cm
Mit FG = DC = c, haben wir c = 3,1cm

Flächeninhalt A = ^{(a + c)·h}/₂ = ^{(9.2cm + 3,1cm)·2,57cm}/₂ = 15,80cm²     A = 15,80cm²


Gegeben: a = 5,1cm, h = 3,2cm, γ = 108°
Gesucht: b = d, c, α = β und A

γ = δ = 108°
360° = α + β + γ + δ = 2α + 2γ = 2α + 216  |  −216°
144° = 2α   |  ÷2
⇒ α = β = 72°

sin α = ^h/_d   |  ·(−1)
⇒ ¹/_{sin α} = ^d/_h   |  ·h
⇒ d = ^h/_{sin α} = ^3,2cm/_{sin 72°} = 3,36cm
d = b = 3,36cm

AF = GB
cos 72° = ^AF/_d   |  ·d
⇒ AF = d·cos 72° = 3,36cm·cos 72°
⇒ AF = GB = 1,04cm

FG = c, a = 5,1cm
5,1cm = 1,04cm + FG + 1,04cm = 2,08 + FG   |  −2,08      ⇒ c = FG = 3,02cm

A = ^{(a + c)·h}/₂ = ^{(5,1cm + 3,02cm)·3,2cm}/₂    ⇒   A ≈ 13cm²


Gegeben: b = 7,5cm, c = 3,4cm, h = 5,0cm
Gesucht: d, a, α = β γ = δ, AF = GB und A



Merke

Wie bei a) und b) sind immer wieder die Gleiche Formeln benutzt um die fehlende Größe zu berechnen!

So:
- d = b = 7,5cm
- sin α = ^h/_d = ^5,0cm/_7,5 = 0,66
  ⇒ sin α = 0,66   |   ÷sin
  ⇒ α = β ≈ 41,3°
- cos α = ^AF/_d ⇔ AF = d·cos 41,3° = 7,5cm·cos 41,3°
  ⇒ AF = GB = 5,63cm und FG = c = 3,4cm
- 360° = α + β + γ + δ = 2α + 2γ = 82,6° + 2γ
⇒ 360° = 82,6° + 2γ   |   −82,6°
  2γ = 277,4   |   ÷2
  ⇒ γ = δ = 138,7°
- a = AF + FG + GB = 5,63cm + 3,4cm + 5,63cm
  ⇒ a =14,66cm
- A = ^{(a + c)·h}/₂ = A = ^{(14,66cm + 3,4cm)·7,5cm}/₂
  ⇒ A = 67,72cm²


4. ... Still to come ...

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Lösung 4:

Symmetrischer Drache

a)

• Länge der Diagonale e im Verhältnis 1:2

Gegeben: α = 39°, f = 7cm
Gesucht: e, A
f teilt die Diagonale e im Verhältnis 1:2 bedeudet daß die ganze Strecke e gleich 3 ist und f teilt e genau an der Teile 1 (also ^e/₃) (Siehe Abb.1).



Abb.1: Drache im Koordinaten System (Leicht erklärt)
so haben wir:
tan (^α/₂) = ^f/₂ ÷ ^e/₃   |   ·(−1)
   ⇒ ¹/_{tan (^α/2)} = ^e/₃ ÷ ^f/₂   |   ·^f/₂
   ⇒ ^e/₃ = ^f/₂ · ¹/_{tan (^α/2)}   |   ·3
   ⇒ e = 3( ^f/₂ · ¹/_{tan (^α/2)})

Bekannte Werte einsetzen: ^f/₂ = ⁷/₂ = 3,5cm; α = 39° und ^α/₂ = 19,5°
   ⇒ e = 3(3,5cm · 2,82) = 29,66 cm


• Flächeninhalt A des Drachenvierecks
A = ^(e·f)/₂ = ^{(29,66cm · 7cm)}/₂ = 103,81 cm    ⇒ A = 103,8 cm²

b)
Gesucht: β, γ, a und b

• DM = MB = 3,5cm, ^α/₂ = 19,5°
tan 19,5° = ^3,5cm/_AM
⇒ AM = ^3,5cm/_0,35,    ⇒ AM = 9,88cm
cos 19,5° = ^AM/_a = ^9,88cm/_a   |   ·a
   ⇒ a = 10,48cm

• In dem Dreieck AMB (β₁), ist der gesamte Winkel: ^α/₂ + 90° + ^β₁/₂ = 180°
^α/₂ = 19,5°
⇒ 19,5° + 90° + ^β₁/₂ = 180°   |   −109,5°
⇒ ^β₁/₂ = 70,5°    ⇒ ^β₁/₂ = 70,5°

• In dem Dreieck BMC, ist ^f/₂ = 3,5cm, und ^2e/₃ = 19,77cm die Länge MC:
  so, tan (^γ/₂) = ^3,5cm/_19,77cm = 0,177   |   ÷tan
  ⇒ ^γ/₂ = tan⁻¹ (0.177) = 10,03° und γ = 20,06°
  
  wieder in BMC: β₂
  ^γ/₂ + 90° + ^β₂/₂ = 180° ⇔ 10,03° + 90° + ^β₂/₂ = 180°   |   −100,03°
  ⇒ ^β₂/₂ ≈ 80°
  
  β = ^β₁/₂ + ^β₂/₂ = 150.5° ⇒ β = θ = 150,5° (θ gegen winkel zu β)
  
  der gesamte Winkel: α + β + γ + θ = 360°
  
  
• In dem Dreieck BMC, sind die Winkeln: ^β₂/₂ = 80°, ^γ/₂ = 10,03° und DM = MB = 3,5cm
sin (10,03°) = ^3,5cm/_b   |   ·(−1)
⇒ ¹/_{sin (10,03°)} = ^b/_3,5cm   |   ·3,5cm
⇒ b = ^3,5cm/_{sin (10,03°)} ≈ 20,1cm
⇒ b ≈ 20,1cm

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Lösung 5:

... Still to come ...

Lösung zur Trigonometrie (1)

Lösung 2:

1. Dreieck aus dem Parallelogramm ABCD

2. Dreieck aus dem Parallelogramm ABCD

Gegeben: a = 4,1 cm und b = 3,4 cm
Gesucht: h₁, h₂ und A.

a) α = 42°

• Aus dem 2. Dreieck:
  sin α = ^h₁/_b  | ·b
  ⇒ h₁ = b·sin α = 3,4 cm · sin 42° ≈ 2,3 cm,        h₁ = 2,3 cm
• Nach dem 1. Dreieck:
  sin α = ^h₂/_a  | ·a
  ⇒ h₂ = a·sin α = 4,1 cm · sin 42° = 2,74 cm,      h₂ = 2,74 cm
• Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist eine Mischung aus Dreieck und Rechteck. Es gilt denn A = g · h, mit g die Grundseite des Rechtecks und h die Höhe des Dreiecks.
  In unserem Fall, g = a und h = h₁ (siehe Abbildung A)
  ⇒ A = a · h₁ = 4,1 cm · 2,3 cm
  ⇒ A = 9,43 cm²

Abbildung A: Flächeninhalt des Parallelogramms

b) α = 115°
Hier brauchst du nur noch α = 115° überall in a) einsetzen !!!
so bekommst du:

• h₁ = 3,4 cm · sin 115° = 3,08 cm
h₁ = 3,08 cm
• h₂ = 4,1 cm · sin 115° = 3,71 cm
h₂ = 3,71 cm
• A = a · h₁ = 4,1 cm · 3,08 cm = 12,63 cm²
A = 12,63 cm²

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Übung zur Trigonometrie

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Aufgaben

Lösungen

Lösung 1:

1. Gegeben: a = b = 5,9cm, α = β = 32°
Gesucht: c, h, γ und A
Bekannt: α + β + γ = 180 ° ⇔ 32° + 32° + γ = 180° ⇒ γ = 180° - 64° = 116°
cosβ = ^BD/_a ⇔ BD = 5,9cm · cos32° ⇒ BD = AD = 5,0cm
es folgt c= 10cm
Flächeninhalt A des Dreiecks ADC + BDC = 2(¹/₂·AD·h), wo sinα = ^h/_a und h = a·sinα:
A = 2(¹/₂·5·5,9·sinα) = 15,6cm², A = 15,6cm²


2. Gegeben: a = b = 4,5dm, γ = 98°
Gesucht: c, h, α = β und A
Bekannt: α + β + γ = 180 °, AD = DB
⇔ 2α + γ = 180° | − 98°
⇒ 2α = 82 | ÷ 2
⇒ α = β = 41°
cosα = ^AD/_b und AD = bcosα = 4,5dm · cos41*deg; ≈ 3,4
AD = DB ≈ 3,4cm, und c = 6,8dm
Flächeninhalt A des Dreiecks ADC + BDC = 2(¹/₂·AD·h), wo sinα = ^h/_a und h = a·sinα:
A = 2(¹/₂·3,4·4,5·sin41°) = 10,03dm², A = 10,03dm²


3. Gegeben: a = b = 65,4m, c = 54,7m
Gesucht: h, α = β, und γ
Bekannt: α + β + γ = 180 °, c= AD + DB, mit AD = BD ⇒ c = 2AD und AD = ^c/₂
AD = BD = 27,35m
cosβ = ^BD/_a = ^27,35/_65,4
⇒ cosβ ≈ 0,42  | ÷cos
⇒ β = cos^-1(0,42) = 65,2°, α = β = 65,2°
wir wissen dass α + β + γ = 180 ° (α und β einsetzen um γ zu rechen)
⇒ 2(65,2) + γ = 180 °  | −130,4
γ = 49,6°

Wir brauchen die Höhe h um den Flächeninhalt ein Rechtwinkliges Dreieck zu rechen.
Nach der Formel: A = ¹/₂·AD·h
In den Dreiecken ADC und BDC ist die Höhe h gleich. Man kann denn den Flächeninhalt eines Dreiecks rechnen und mal 2 multiplizieren
sinα = ^h/_b | ·b
⇒ h = b·sinα, h = 65.4m · sin 65,2° = 59,37m
Der Flächeninhalt ist denn: A = 2(¹/₂·27,35·59,73) = 816,8m²

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Trigonometrie

Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens

Wichtig

Die Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck stehen in Beziehung zu den Winkeln, so dass man die Winkel über die Seitenverhältnisse bestimmer kann.

Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck

Abbildung1: Rechtwinkliges Dreieck

Gemäß der Abbildung:

> sin α =

Gegenkathete von α -------------------------- Hypothenuse

=

a --- c

=

cos β

> cos α =

Ankathete von α -------------------------- Hypothenuse

=

b --- c

=

sin β

> tan α =

Gegenkathete von α ---------------------------- Ankathete von α

=

a --- b

=

cot β

> cot α =

Ankathete von α ------------------------ Gegenkathete von α

=

b --- c

=

tan α

Umrechnungen Grad und Bogenmaß

Wichtig

Es besteht ein Zusammenhang zwischen einem Winkel in Grad und der Länge des dazugehörigen Bogenmaßes.

α = 180° --------- • π x ⇔ x = π --------- • 180° α

Grad α	10°	30°	45°	90°	120°	180°	270°	360°
Bogenmaß x	π ----- 18	π ----- 6	π ----- 4	π ----- 2	2π ----- 3	π	3π ----- 2	2π

Wichtig

Am Einheitskreis (Kreis mit Radius 1) lassen sich die Winkelfunktionen anschaulich darstellen.

Bemerkenswerte von Sinus und Kosinus, Tangens und Kotangens

Wert(Grad) ► Winkel(α) ▼	0°	30°	45°	60°	90°
sin	0	0.5	0.707	0.86	1
cos	1	0.86	0.707	0.5	0
tan	0	0.58	1	1.72	Unmgl.
cot	Unmgl.	1.72	1	0.58	0

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