Lösung zur Trigonometrie (1)

Lösung 2:

1. Dreieck aus dem Parallelogramm ABCD

2. Dreieck aus dem Parallelogramm ABCD

Gegeben: a = 4,1 cm und b = 3,4 cm
Gesucht: h₁, h₂ und A.

a) α = 42°

• Aus dem 2. Dreieck:
  sin α = ^h₁/_b  | ·b
  ⇒ h₁ = b·sin α = 3,4 cm · sin 42° ≈ 2,3 cm,        h₁ = 2,3 cm
• Nach dem 1. Dreieck:
  sin α = ^h₂/_a  | ·a
  ⇒ h₂ = a·sin α = 4,1 cm · sin 42° = 2,74 cm,      h₂ = 2,74 cm
• Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist eine Mischung aus Dreieck und Rechteck. Es gilt denn A = g · h, mit g die Grundseite des Rechtecks und h die Höhe des Dreiecks.
  In unserem Fall, g = a und h = h₁ (siehe Abbildung A)
  ⇒ A = a · h₁ = 4,1 cm · 2,3 cm
  ⇒ A = 9,43 cm²

Abbildung A: Flächeninhalt des Parallelogramms

b) α = 115°
Hier brauchst du nur noch α = 115° überall in a) einsetzen !!!
so bekommst du:

• h₁ = 3,4 cm · sin 115° = 3,08 cm
h₁ = 3,08 cm
• h₂ = 4,1 cm · sin 115° = 3,71 cm
h₂ = 3,71 cm
• A = a · h₁ = 4,1 cm · 3,08 cm = 12,63 cm²
A = 12,63 cm²

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Übung zur Trigonometrie

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Aufgaben

Lösungen

Lösung 1:

1. Gegeben: a = b = 5,9cm, α = β = 32°
Gesucht: c, h, γ und A
Bekannt: α + β + γ = 180 ° ⇔ 32° + 32° + γ = 180° ⇒ γ = 180° - 64° = 116°
cosβ = ^BD/_a ⇔ BD = 5,9cm · cos32° ⇒ BD = AD = 5,0cm
es folgt c= 10cm
Flächeninhalt A des Dreiecks ADC + BDC = 2(¹/₂·AD·h), wo sinα = ^h/_a und h = a·sinα:
A = 2(¹/₂·5·5,9·sinα) = 15,6cm², A = 15,6cm²


2. Gegeben: a = b = 4,5dm, γ = 98°
Gesucht: c, h, α = β und A
Bekannt: α + β + γ = 180 °, AD = DB
⇔ 2α + γ = 180° | − 98°
⇒ 2α = 82 | ÷ 2
⇒ α = β = 41°
cosα = ^AD/_b und AD = bcosα = 4,5dm · cos41*deg; ≈ 3,4
AD = DB ≈ 3,4cm, und c = 6,8dm
Flächeninhalt A des Dreiecks ADC + BDC = 2(¹/₂·AD·h), wo sinα = ^h/_a und h = a·sinα:
A = 2(¹/₂·3,4·4,5·sin41°) = 10,03dm², A = 10,03dm²


3. Gegeben: a = b = 65,4m, c = 54,7m
Gesucht: h, α = β, und γ
Bekannt: α + β + γ = 180 °, c= AD + DB, mit AD = BD ⇒ c = 2AD und AD = ^c/₂
AD = BD = 27,35m
cosβ = ^BD/_a = ^27,35/_65,4
⇒ cosβ ≈ 0,42  | ÷cos
⇒ β = cos^-1(0,42) = 65,2°, α = β = 65,2°
wir wissen dass α + β + γ = 180 ° (α und β einsetzen um γ zu rechen)
⇒ 2(65,2) + γ = 180 °  | −130,4
γ = 49,6°

Wir brauchen die Höhe h um den Flächeninhalt ein Rechtwinkliges Dreieck zu rechen.
Nach der Formel: A = ¹/₂·AD·h
In den Dreiecken ADC und BDC ist die Höhe h gleich. Man kann denn den Flächeninhalt eines Dreiecks rechnen und mal 2 multiplizieren
sinα = ^h/_b | ·b
⇒ h = b·sinα, h = 65.4m · sin 65,2° = 59,37m
Der Flächeninhalt ist denn: A = 2(¹/₂·27,35·59,73) = 816,8m²

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