Loesungen

Mit PQ-Formel gelöst:

1. x² - 5x - 6 = 0
   • x² - 5x - 6 = 0 (Standard Form)
   • "p" und "q" rausfinden
   Im vergleich mit der Standard Form der PQ-Formel, haben wir: p = - 5 und q = - 6:
   • "p" und "q" in der PQ-Formel einsetzen:
   x_1/2 = - (^{- 5}/₂) ± √((^{- 5}/₂)² - (- 6)) => x_1/2 = 2,5 ± 3,5
   • x₁ = 2,5 + 3,5 = 6 => x₁ = 6
   und
   x₂ = 2,5 - 3,5 = - 1 => x₂ = - 1
   Die Gleichung hat die Lösung: L = {- 1 | 6}
2. x² - 6x = 27
   • x² - 6x = 27| -27 (in der Standard Form bringen)
     => x² - 6x - 27 = 0
   • "p" und "q" rausfinden
     => p = - 6, q = - 27
   • "p" und "q" in der PQ-Formel einsetzen:
   x_1/2 = - (^{- 6}/₂) ± √((^{- 6}/₂)² - (- 27)) => x_1/2 = 3 ± 6
   • x₁ = 3 + 6 = 9 => x₁ = 9
   und
   x₂ = 3 - 6 = - 3 => x₂ = - 3
   Die Gleichung hat die Lösung: L = {- 3 | 9}
3. 3x² + 30x + 72 = 0
   • 3x² + 30x + 72 = 0 | :3 (in der Standard Form bringen)
     => x² + 10x + 24 = 0
   • "p" und "q" rausfinden
     => p = 10, q = 24
   • "p" und "q" in der PQ-Formel einsetzen:
   x_1/2 = - (¹⁰/₂) ± √((¹⁰/₂)² - 24) => x_1/2 = - 5 ± 1
   • x₁ = - 5 + 1 = - 4 => x₁ = - 4
   und
   x₂ = - 5 - 1 = - 6 => x₂ = - 6
   Die Gleichung hat die Lösung: L = {- 6 | - 4}

Scheitelpunkt:

Solutions Quadratic Equations:

1. 3x² + 5x + 1 = 0
   to solve this equation we need 2 formulas:
   
   • a quadratic equation in standard form
   ax² + bx + c = 0, with a, b and c constant numbers and a # 0
   and
   
   • a quadratic formula
   x_1/2 = ^{(- b ± √(b2 - 4ac))} / _2a
³/₃x² + ⁵/₃x + ¹/₃x⁰ = 0 (x⁰ = 1) | (:3 to bring the eq. to a standard form)
a = 1 | b = 1.66 | c = 0.33 (by comparing with the standard form)
the Discriminant Δ = b² - 4ac = 1.66² - 4 ⋅1⋅0.33 = 1.435 > 0 => 2 solutions x₁ and x₂
x_1/2 = ^{(- 1.66 ± √(1.662 - 4⋅1⋅0.33))} / _2⋅1 = - 0.83 ± 0.6
x₁ = - 0.83 + 0.6 = - 0.23 => x₁ = - 0.23 | x₂ = - 0.83 - 0.6 = - 1.43 => x₂ = - 1.43
The final solution S = { - 1.43 | - 0.23}