Zinseszinsberechnung

1. Die allgemeine Zinseszins-Formel
K_n = K₀ · qⁿ = K₀ · (1 + ^p/₁₀₀)ⁿ
mit
1. "K_n auch K_Verz.": das Endkapital (nach der Verzinsung)
2. "K₀ auch K_Anf.": das Anfangskapital (vor der Verzinsung)
3. "p%": der Zinssatz
4. "n": die Anzahl der Jahre
5. "qⁿ": (1 + ^p/₁₀₀)ⁿ  als der Zinsfaktor
Hinweis: Der Zinssatz wird in die Formel anstatt p% einfach p eingesetzt, natürlich wird das Ergebnnis in "%" gegeben (Z.B. anstatt 4.5% einfach 4,5)


2. Formeln umstellen
• K₀: Anfangskapital berechnen:
K₀ = ^K_n/qⁿ = ^K_n/_{(1 + ^p/100)ⁿ}
• p%: Zinssatz berechnen
p = 100 · (ⁿ√(^K_n/_K0) - 1)
• n: Zeit (Jahre) berechnen
^K_n/_K0 = (1 + ^p/₁₀₀)ⁿ | logarithmieren
log(^K_n/_K0) = n · log(1 + ^p/₁₀₀) ==> n = ^log(K_n/_K0)/_{log(1 + ^p/100)}n



3. Beispiele:


1. Ein Guthaben von 1200 Euro wird zu einem Zinssatz von 4 Prozent für einen Zeitraum von 5 Jahren festgelegt. Wie hoch ist das Guthaben nach dieser Zeit?
2. Wie viel Geld muss man anlegen, um nach 4 Jahren und bei einem Zinssatz von 3% ein Guthaben von 8000 Euro zu erhalten?
3. Ein Guthaben von 800 Euro wurde 4 Jahre verzinst. Das Guthaben beträgt nach der Verzinsung 980 Euro. Wie hoch war der Zinssatz?
4. Auf einem Sparbuch befinden sich 1000 Euro, der Zinssatz beträgt 5 Prozent. Nach welcher Zeit hat sich das Geld auf dem Sparbuch verdoppelt?
Zu den Lösungen



Aufgabe 1: Folgende Kapitalanlagen sind zu berechnen.

1. Es werden 10000 € zu 6% angelegt. Welcher Betrag steht nach 5 Jahren zur Verfügung?
2. Für den Kauf eines Autos benötigt man 18000 €. Wann steht das Geld zur Verfügung?
3. Welcher Betrag müsste angelegt werden, damit das Geld für den Autokauf schon nach 5 Jahren zur Verfügung steht?
4. 
   
Zinseszins
Gegeben: K₀ = 1200€ | p = 4 | n = 5
Gesucht: K_n.
K_n = 1200€ · (1 + ⁴/₁₀₀)⁵ = 1459,98€

Nach 5 Jahren beträgt das verzinste Kapital 1459,98€.
Gegeben: K_n | p = 3 | n = 4
Gesucht: K₀.
K₀ = ^8000€/(1 + ³/₁₀₀)⁴ = 7107,89€

7107,89€ muss angelegt werden um 8000€ zu erhalten.
Gegeben: K₀ = 800€ | n = 4 | K_n = 980€
Gesucht: p.
^980€/_800€ = (1 + ^p/₁₀₀)⁴ | ⁴√
⁴√(^980€/_800€)= 1 + ^p/₁₀₀
p = 100 · [⁴√(^980€/_800€) - 1] = 5,20%

Der Zinssatz war 5,2% hoch.
Gegeben: K₀ = 1000€ | K_n = 2000€ | p = 5
Gesucht: n.
^2000€/_1000€ = (1 + ⁵/₁₀₀)ⁿ | log
log 2 = n · log(1 + ⁵/₁₀₀)
n = ^{log 2}/_{log (1,05)} = 14,20

Nach der Zeit 14,20 hat sich das Geld auf dem Sparbuch verdoppelt.

zu den Beispielen

Loesung zum Logarithmus

Ausführliche Lösungen

1. Finde die Basis
• Die Basis ist 16
log_x 256 = 2
256 = x² | √
x = 16
• Die Basis ist 6
log_x 216 = 3
216 = x³ | ³√
x = 6
• Die Basis ist 7
log_x 343 = 3
343 = x³ | ³√
x = 7
• Die Basis ist 14
log_x 196 = 2
196 = x² | √
x = 14
2. Finde die Zahl
• log₁₉ x = 2
x = 19² ==> x = 361
• log₁₈ x = 3
x = 18³ ==> x = 5832
• log₂₂ x = 2
x = 22² ==> x = 484
3. Berechne
• log₂ 32 = x
log(32) / log(2) = x ==> x = 5
• log₄ 4 = x
log(4) / log(4) = x ==> x = 1
• log₆ 36 = x
log(36) / log(6) = x ==> x = 2
• log₂ 64 = x
log(64) / log(2) = x ==> x = 6


4. Berechne nach x
• log_x 27 = 3
27 = x³ | ³√
x = 3
• log_x 25 = 2
25 = x² | √
x = 5

Logarithmus Berechnen

Logarithmus zur Basis 2: Zweierlogarithmus

Anwendung: Man braucht die Logarithmus um Gleichungen wie y = 5^x, nach x aufzulösen. In anderen Worten eine Gleichung ohne exponentielle (potenzen) schreiben.
Allegemeine Gleichung: y = log_a x <=> x = a^x

Beispiel:

1. y = 2^x    | logarithmieren
   => log₂ y = x
2. y = 5^2x    | logarithmieren
   =>log₅ y = 2x

P.S: Nachdem man x runter gebracht hat, kann man denn die Gleichung nach x rechnen und ohne Probleme!

Rechenregel

• log_a (u * v) = log_a u + log_a v   ==>   Bspl: log₂ (16 * 8) = 4 + 3 = 7
• log_a (u : v) = log_a u - log_a v    ==>   Bspl: log₃ (27 : 9) = log₃27 - log₃ 9 = 3 - 2 = 1
• log_a uⁿ = n * log_a u               ==>   Bspl: log₅ 125⁴ = 4 * log₅ 125 = 4 * 3 = 12
• log_a u = ^{log u}/_{log a}                 ==>   Bspl: log₅ 725 = ^{log 125}/_{log 5} = 4,09

Natürlicher Logarithmus

Ist ein Logarithmus mit der Basis e (eulersche Zahl/Natürliche Zahl), wobei e = 2,718...
Es gilt: y = log_e x und y = lnx ==> log_e x = lnx

Dekadischer Logarithmus

Mit der Basis 10, hat man ein dekadischer Logarithmus oder auch Zehnerlogarithmus genannt. Die Form: y = log₁₀ r oder einfach lgr.

Aufgaben

1. Finde die Basis:
• Der Logarithmus der Zahl 256 ist 2
• Der Logarithmus der Zahl 216 ist 3
• Der Logarithmus der Zahl 343 ist 3
• Der Logarithmus der Zahl 196 ist 2
2. Finde die Zahl
• Der Logarithmus einer Zahl zur Basis 19 ist 2
• Der Logarithmus einer Zahl zur Basis 18 ist 3
• Der Logarithmus einer Zahl zur Basis 22 ist 2
3. Berechne
• log₂ 32
• log₄ 4
• log₆ 36
• log₂ 64
4. Berechne nach x
• log_x 27 = 3
• log_x 25 = 2

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