Sonntag, 4. Mai 2014

Zinseszinsberechnung

  1. Die allgemeine Zinseszins-Formel
    2. Kn = K0 · qn = K0 · (1 + p/100)n
    mit
    1. "Kn auch KVerz.": das Endkapital (nach der Verzinsung)
    2. "K0 auch KAnf.": das Anfangskapital (vor der Verzinsung)
    3. "p%": der Zinssatz
    4. "n": die Anzahl der Jahre
    5. "qn": (1 + p/100)n  als der Zinsfaktor
    Hinweis: Der Zinssatz wird in die Formel anstatt p% einfach p eingesetzt, natürlich wird das Ergebnnis in "%" gegeben (Z.B. anstatt 4.5% einfach 4,5)

  2. Formeln umstellen
    • K0: Anfangskapital berechnen:
      • K0 = Kn/qn = Kn/(1 + p/100)n
    • p%: Zinssatz berechnen
      • p = 100 · (n√(Kn/K0) - 1)
    • n: Zeit (Jahre) berechnen
      • Kn/K0 = (1 + p/100)n | logarithmieren
      log(Kn/K0) = n · log(1 + p/100) ==> n = log(Kn/K0)/log(1 + p/100)n


  3. Beispiele:
    4.
    1. Ein Guthaben von 1200 Euro wird zu einem Zinssatz von 4 Prozent für einen Zeitraum von 5 Jahren festgelegt. Wie hoch ist das Guthaben nach dieser Zeit?
    2. Wie viel Geld muss man anlegen, um nach 4 Jahren und bei einem Zinssatz von 3% ein Guthaben von 8000 Euro zu erhalten?
    3. Ein Guthaben von 800 Euro wurde 4 Jahre verzinst. Das Guthaben beträgt nach der Verzinsung 980 Euro. Wie hoch war der Zinssatz?
    4. Auf einem Sparbuch befinden sich 1000 Euro, der Zinssatz beträgt 5 Prozent. Nach welcher Zeit hat sich das Geld auf dem Sparbuch verdoppelt?


  5. Aufgabe 1: Folgende Kapitalanlagen sind zu berechnen.
    1. Es werden 10000 € zu 6% angelegt. Welcher Betrag steht nach 5 Jahren zur Verfügung?
    2. Für den Kauf eines Autos benötigt man 18000 €. Wann steht das Geld zur Verfügung?
    3. Welcher Betrag müsste angelegt werden, damit das Geld für den Autokauf schon nach 5 Jahren zur Verfügung steht?

    1. Gegeben: K0 = 1200€ | p = 4 | n = 5
      Gesucht: Kn.
      Kn = 1200€ · (1 + 4/100)5 = 1459,98€

      Nach 5 Jahren beträgt das verzinste Kapital 1459,98€.
    2. Gegeben: Kn | p = 3 | n = 4
      Gesucht: K0.
      K0 = 8000€/(1 + 3/100)4 = 7107,89€

      7107,89€ muss angelegt werden um 8000€ zu erhalten.
    3. Gegeben: K0 = 800€ | n = 4 | Kn = 980€
      Gesucht: p.
      980€/800€ = (1 + p/100)4 | 4√
      4√(980€/800€)= 1 + p/100
      p = 100 · [4√(980€/800€) - 1] = 5,20%

      Der Zinssatz war 5,2% hoch.
    4. Gegeben: K0 = 1000€ | Kn = 2000€ | p = 5
      Gesucht: n.
      2000€/1000€ = (1 + 5/100)n | log
      log 2 = n · log(1 + 5/100)
      n = log 2/log (1,05) = 14,20

      Nach der Zeit 14,20 hat sich das Geld auf dem Sparbuch verdoppelt.
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