Lineare und Systemgleichungen

Aufgaben

Lösung zu Gleichsetzungsverfahren ►►
Lösung zu Einsetzungsverfahren ►►
Lösungen zu Additionsverfahren ►►
Lösungen zu Freiwilliges Verfahren ►►
Lösung zu Aufgabe 8 ►►
Lösung zu Aufgabe 9 ►►

Lösung zu Aufgabe 1 ►► Lösung zu Aufgabe 2 ►► Gleichsetzungsverfahren a) y = - x + 8 (I) y = x - 2  (II) (II) = (I) ==> - x + 8 = x - 2 | +x rechnen ==> 8 = 2x - 2 | +2 rechnen ==> 10 = 2x | :2 rechnen ==> x = 5 (III) (III) in eine der Beide Gleichungen einsetzen, am bestens die leichte (II) ==> y = 5 - 2 = 3 ==> y = 3 Die Lösungsmenge ist: L = {3; 5}  ◄◄ zu den Aufgaben b) 1/2·x = 3y + 7 (I) 1/2·x - 5y = 15 (II) Die zweite Gleichung nach "1/2·x" schreiben: ==> 1/2·x - 5y = 15 |*(+5y) rechnen ==> 1/2·x = 5y + 15 (III) (I) = (III) <==> 3y + 7 = 5y + 15 | -3y 7 = 2y + 15 | -15 - 8 = 2y | :2 ==> y = - 4 (IV) (IV) in (I), (II) oder (III) einsetzen: in (III) zum Beispiel: 1/2·x = 5(-4) + 15 ==> 1/2·x = - 5 | ·2 ==> x = - 10 Die Lösungsmenge ist: L = {- 10; - 4} ◄◄ zu den Aufgaben Einsetzungsverfahren c) 3x - 2y = 2 (I) 2y = 4x + 2 (II) Die zweite Gleichung direkt in der erste einsetzen: ==> 3x - (4x + 2) = 2 | ausklammern ==> 3x - 4x - 2 = 2 | +2 rechnen - x = 4 | ==> x = - 4 (III) (III) in (II) einsetzen: 2y = 4(-4) + 2 2y = - 14 | :2 ==> y = - 7 Die Lösungsmenge ist: L = {- 7; - 4} ◄◄ zu den Aufgaben d) 11y - 15x = 4 (I) x = 3y - 15 (II) (II) in (I)einsetzen: 11y - 15(3y - 15) = 4 | -225 - 34y = -221 | :(-34) ==> y = 6,5 (III) (III) in (II) einsezten: x = 3(6,5) - 15 | ==> x = 4,5 Die Lösungsmenge ist: L = {4,5; 6,5} ◄◄ zu den Aufgaben Additionsverfahren a) 2x - y = 2 (I) y - x = 14 (II) <==> 2x - y = 2 (I) -x + y = 14 (II)                          ---------------------- beide Gleichungen addieren ==> x = 16 (III) (III) in (II) einsetzen: - 16 + y = 14 | +16 ==> y = 30 Die Lösungsmenge ist: L = {16; 30} ◄◄ zu den Aufgaben b) 5u + 9v - 42 = 0 (I) 10u + 3v - 39 = 0 (II) 5u + 9v - 42 = 0 (I) ·(+42) 10u + 3v - 39 = 0 (II) ·(+39) <==> 5u + 9v = 42 (I) ·2 10u + 3v = 39 (II) <==> - 10u - 18v = - 84 10u + 3v = 39 Gleichung addieren: ==> - 15v = - 45 | :(-15) ==> v = 3 (III) (III) in (I) einsetzen: ==> 5u + 9(3) = 42 | -27 5u = 15 | :5 ==> u = 3 Die Lösungsmenge ist: L = {3; 3} ◄◄ zu den Aufgaben c) 1/2· x = 1/3· y + 1 (I) 1/2· x = 4/3· y - 10 (II) 1/2· x = 1/3· y + 1 (I) 1/2· x = 4/3· y - 10 (II) | ·(-1) <==> 1/2· x = 1/3· y + 1 (I) - 1/2· x = - 4/3· y + 10 (II) Beide Gleichungen addieren: ==> 0 = - y + 11 | -11 ==> y = 11 (III) (III) in (I) einsetzen: 1/2· x = 1/3·(11) + 1 1/2· x = 14/3 | ·2 ==> x = 28/3 = 9,33 Die Lösungsmenge ist: L = {9,33; 11} ◄◄ zu den Aufgaben d) 3k - 6m = 15 (I) - 1/2·k + m = - 5/2 (II) 3k - 6m = 15 (I) - 1/2·k + m = - 5/2 (II) | ·6 <==> 3k - 6m = 15 (I) - 3k + 6m = - 15 (II) Die Gleichungen sind genau so gleich, also Das System hat keine Lösung oder eine Triviale Wahre Lösung ==> Falsche Aussage! ◄◄ zu den Aufgaben Löse nach einem möglischt günstigen Verfahren a) 9x + 4y = 37 (I) y = 6x + 1 (II)   Das Einsetzungsverfahren in günstig für dieses Gleichungssytem. so wird (II) in (I) eingesetzt: ==> 9x + 4(6x + 1) = 37 ausklammern 9x + 24x + 4 = 37 | -4 33x = 33 | :33 ==> x = 1 (III) (III) in (II) enisetzen: y = 6(1) + 1 = 7 Die Lösungsmenge ist: L = {1; 7} ◄◄ zu den Aufgaben b) 6x + 4y = 9 (I) 6x - 5y = - 18 (II)   Das Additionsverfahren ist am bestens! 6x + 4y = 9 (I) 6x - 5y = - 18 (II) | ·(-1)  <==> 6x + 4y = 9 (I) - 6x + 5y = 18 (II)  Beide Gleichungen addieren: ==> 9y = 27 | :9 wird y = 3 (III) (III) in (I) einsetzen: ==> 6x + 4(3) = 9 | -12 6x = - 3 | :6 ==> x = - 1/2 Die Lösungsmenge ist: L = {- 1/2; 3} ◄◄ zu den Aufgaben c) x = 2y - 4 (I) 4x + 7y = 1 (II)  Einsetzungsverfahren, (I) in (II) einsetzen und ausrechnen: ==> 4(2y - 4) + 7y = - 1 8y - 16 + 7y = - 1 | +16 15y = 15 | :15 ==> y = 1 (III) (III) in (I): x = 2(1) - 4 = - 2 Die Lösungsmenge ist: L = {- 2; 1} ◄◄ zu den Aufgaben Lösung zu diesen Augaben sind noch in Bearbeitung, du kannst aber selbst versuchen !!! d) 3x + 2y = 4 (I) 4x - 5y = - 10 (II)  e) 3r + 2s = 2 (I) 6r - 8s = - 2 (II)  f) 2x = 2y - 4 (I) 3x - 3y = - 5 (II)  g) 3x + 4,5y = 1,5 (I) - 2,5x - 3y = - 1 (II)  h) y = 3x - 2 (I) 2y - 6x = - 4 (II)  a) 2,2x + 0,9y = 4,4 (I) | ·(-3) 2,6x + 2,7y = 8,8 (II)  Additionsverfahren ist günstig hier! So ist die Gleichung (I) mal (-3) multipliziert... <==> 6,6x - 2,7y = - 13,2 (I) 2,6x + 2,7y = 8,8 (II)  Beide Gleichungen addieren: ==> - 4,0x = - 4,4 | :(-4) ==> x = 1,1 (III) (III) in (I) einsetzen: ==> 2,2(1,1) + 0,9y =4,4 | -2,42 0,9y = 1,98 | :0,9 ==> y = 2,2 Die Lösungsmenge ist: L = {1,1; 2,2} ◄◄ zu den Aufgaben b) 1,5x + 2,5y = 3,5 (I) 2,1x - 3,5y = - 4,9 (II)  Wieder Additionsverfahren! hier kann man als Brueche umwandeln oder die x / y zwischen sich dividieren um zu wissen womit man multipliziert kann und das kurzen zu ermoeglichen! Ich mache aber mit Brueche!!! Das System wird denn so geschrieben: 3/2·x + 5/2·y = 7/2 (I) 21/10·x - 7/2·y = - 49/10 (II)  Beide auf gleiche Nenner setzen: <==> 3x + 5y = 7 (I) | ·7 21x - 35y = - 49 (II)  <==> 21x + 35y = 49 (I) 21x - 35y = - 49 (II)  Beide Gleichungen addieren: ==> 42x = 0 | :42 ==> x = 0 (III) (III) in (I): 5y = 7 | :5 ==> y = 7/5 ≈ 1,4 Die Lösungsmenge ist: L = {0; 1,4} ◄◄ zu den Aufgaben c) 10(x - 2) - 4(y + 1) = 26 (I) 9(x + 1) - 6(y - 2) = 54 (II)  Erstmal ausklammern und zusammenfassen: <==> 10x - 4y = 50 (I) | ·(-6) 9x - 6y =33 (II)  | ·4 (I) mal (-6) und (II) mal (4): <==> - 60x + 24y = - 300 (I) 36x - 24y = 132 (II)  Beide Gleichungen addieren: ==> 24x = 168 | :24 ==> x = 7 (III) (III) in (II): 9(7) - 6y = 33 | -63 - 6y = - 30 | :(-6) ==> y = 5 Die Lösungsmenge ist: L = {5; 7} ◄◄ zu den Aufgaben seien: x = Einzelzimmer mit x Bett und 78 Zimmer y = Doppelzimmer mit 2y Betten und 119 Betten Das ganze wird in einem Gleichungssystem interpretiert wie folgt: x + y = 78 (I) ·(-1) x + 2y = 119 (II)  <==> - x - y = - 78 (I) x + 2y = 119 (II)  Beide Gleichungen addieren: ==> y = 41 (III) (III) in (I): x + 41 = 78 | -41 ==> x = 37 Das Gasthaus hat 37 Einzelzimmer und 82 Doppelzimmer!!! Die Lösungsmenge ist: L = {37; 41} ◄◄ zu den Aufgaben Skizze des Rechtecks Gegeben: - U = 28,8cm; - A − 17,35cm = (x = 4,5cm)(y − 3,5) Bekannt bei dem Rechteck: - U = 2(x + y) und A = x · y Gesucht: x, y und A daraus folgt das Gleichungssystem: x + y = 14.4cm (I) (x + 4.5)(y − 3,5) = x·y − 17.35 cm² (II)  Mit Additionsverfahren rechnen: ⇔ x + y = 14.4cm (I)   |  ·3,5 (mal 3,5) x·y − 3,5x + 4,5y − 15,75 = x·y − 17.35 cm² (II) (aus (II) x·y weg kurzen, 15,75 und − 17.35 zusammen rechen) ⇔ 3,5x + 3,5y = 50.4cm − 3,5x + 4,5y = − 1.6 ----------------------------- (Beide zusammen addieren) 0,0x + 8,0y = 48,8 ⇒ y = 6,1cm  (III) (III) in (I) einsetzen: ⇒ x + 6,1 = 14.4 und x = 8,3cm. ◄◄ zu den Aufgaben Gegeben: - Durchschnittsgeschwindigkeit Hinfarht: V1 = 4,5km/h + 1,5km/h (Strömungsgeschw.) - Durchschnittsgeschwindigkeit Rückfahrt: V2 + 4,5km/h - tGesamt = 4h Bekannt: Generell: S = V · t Gesuct: S und tGesamt (mit Strömungsgeschw.) SGesamt = VGesamt · tGesamt = 4.5km/h · 4 = 18km , ⇒ S = 18km Normalerweise mit 4,5km/h, legt der Kajakfahrer 9km hin und 9km zurück in 4 Stunde (2h hin und 2h zurück) Aber mit der Strömungsgeschwindigkeit wird die Hinfahrt um 1.5km/h beschleunigt! Also: - die Zeit auf der Rückfahrt ist: t2 = S2/V2 = 9/4,5 = 2h      t2 = 2h; - Zeit auf der Hinfahrt: t1 = S1/V1 = 9/4,5 + 1,5 = 1,5h      t1 = 1,5h; Die Hinfahrt dauert 1,5h, die Rückfahrt 2h und die Strecke ist 18km lang. ◄◄ zu den Aufgaben

Lösung zu 1:
1. Aufgabe 1
a)



b)



c)



d)


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Lösung zu 2:
2. Aufgabe 2
a) x + y = 4 | -x (y nach x rechnen)
==> y = - x + 4 (das ist die Funktionsgleichung!)
Die x-Koordinate jeder Punkt in der Gleichung einsetzen um y zu finden. Wenn es genau stimmt was man bei den Punkte hat, gehört der Punkt zu dem zugehörigen Graph!
Beispiel:
- für P₁(1|-1): y = - 1 + 4 = 3 ==> für x = 1, y = 3. Was Falsch ist, da sollten wir -1 rausbekommen. Also der Punkt P₁(1|-1) gehört nicht zum Graph von y = - x + 4!
- für P₂(9|-5): y = - 9 + 4 = - 5. das stimmt für x = 9, y = - 5 ==> P₂ gehört zum Graph der Funktionsgleichung y = - x + 4!

...Weiterhin, gehören p₃(-1|-3), p₄(-0,2|-1) und p₅(9|8,2) nicht zum Graph der Gleichung y = - x + 4!

b) x - y = 0,8 | -x
- y = 0,8 - x | ·(-1)
y = x - 0,8 | ==> p₄(-0,2|-1) und p₅(9|8,2) gehören zu y = x - 0,8!

Genau das gleiche für c), d), e) und f) machen!!!
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Potenzengesetze, Potenzen und Potenzeregeln

Grundlegende Potenzregeln

Übungsaufgaben:

1. Übung 1: Schreibe als Potenz
   
   1. 9
   2. 25
   3. 36
   4. 144
   5. 0,81
   6. 8√8
   7. 81
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2. Übung 2: Berechne
   
   1. (- x³)⁷
   2. (- a³)^-4
   3. (2³)²
   4. - x^-4 · ¹/x^-4
   zur Lösung2 ►►


3. Übung 3: Multiplikation, Division, Potenzieren, Radizieren, Kürzen und erweitern von Wurzeln.
   Multiplikation:
   
   1. √4 · √4
   2. ⁴√2 · ⁴√8
   Division:
   3. ^{√8 / _√32}
   4. ^3√16 / ³√2
   Potenzieren:
   5. (³√4)⁶
   6. (⁶√3²)⁴
   Radizieren:
   7. ³√²√729
   8. ⁸√16
   Kürzen und erweitern:
   9. ⁶√7¹⁵
   10. ¹²√5¹⁶
   zur Lösung3 ►►

Lösung

1. Lsg 1:


1. 9 = 3 · 3 = 3²
2. 25 = 5 · 5 = 5²
3. 36 = 6 · 6 = 6^2<>
4. 144 = 12 · 12 = 12²
5. 0,81 = 0,9 · 0,9 = 0,9²
6. 8√8 = 2³√2³ = 2³·2^3/₂ = 2^3+3/₂ = 2^9/₂
7. 81 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3⁴ oder 9²


2. Lsg 2:
1. (- x³)⁷ = - x²¹ (Das Potenz ist ungleich ==> das Vorzeichen negativ)
2. (- a³)^-4 = ¹/(- a³)⁴ = ¹/a¹²
3. (2³)² = 2⁶ = 64
4. - x^-4 · ¹/x^-4 = - 1 (x^-4 kürzen sich weg!)


3. Lsg 3:
1. √4 · √4 = √(4·4) = √16 = 4
2. ⁴√2 · ⁴√8 = ⁴√(2·8) = ⁴√16 = ⁴√2⁴ = 2
3. ^{√8 / _√32} = √(⁸/₃₂) = √(¹/₄) = ¹/₂
4. ^3√16 / ³√2 = ³√(¹⁶/₂) = ³√8 = ³√(2³) = 2^3/3 = 2
5. (³√4)⁶ = (4^1/₃)⁶ = 4^6/₃ = 4² = 16
6. (⁶√3²)⁴ = (3^2/₆)⁴ = 3^4/₃ ≈ 4,33
7. ³√ ²√729 = ^3·2√729 = ⁶√729 = 729^1/₆ = 3 (oder auch ⁶√729 = ⁶√3⁶ = 3^6/₆ = 3)
8. ⁸√16 = ⁸√4² = 4^2/₈ = 4^1/₄ ≈ 1.415 (1,414 = √2)
9. ⁶√7¹⁵ = ^3·2√7^3·5 | (3 kürzen)
   ==> ²√7⁵ = 7^5/₂
10. ¹²√5¹⁶ = ^3·4√5^4·4 | (4 kürzen)
    ==> ³√5⁴ = 5^4/₃


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