Quadratiche Gleichugen

Quadratische Gleichung

Definition:
Es handelt sich um eine Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 oder eine Gleichung die man auf diese Form bringen kann. Dabei sind a, b und c irgendwelche Zahlen wobei a ungleich Null (a # 0) sein muss

N.B.: Die Graphe einer Quadratischen Gleichung ist eine Parabel

Beispiele:

1. 3x² + 5x + 3 = 0
2. x² + 2x + 7 = 0

Quadratische Gleichung mit PQ-Formel Lösen

• Die Gleichung ist: x² + px + q = 0
• Die Lösung: x_1/2 = - ^p⁄₂ ± √((^p⁄₂)² - q)

So wird es gelöst:

• Die Gleichung in die Form x² + px + q = 0 bringen;
• ″p″ und ″q″ rausfinden;
• Dies in die PQ-Formel einsetzen;
• Die Lösung damit Berechnen.

Beispiel:

• 3x² + 5x + 1 = 0 | :3 (in der Standard Form bringen)
⇒ x² + ⁵⁄₃x + ¹⁄₃ = 0;
• p = 1,66 und q = 0,33;
• x_1/2 = - 0,83 ± 0,6;
• x₁ = -0,83 + 0,6 = - 0,23 ⇒ x₁ = - 0,23
und
x₂ = -0,83 - 0,6 = - 1,43 ⇒ x₂ = - 1,43

Satz von Vieta: Seien x₁ und x₂ die Lösungen der quadratischen Gleichung x²+ px + q = 0, dann gilt:

1. x₁ + x₂ = - p;
2. x₁ ⋅ x₂ = q.

Beispiel: x² + px + q = 0 hat die Lösungen x₁ = 3 und x₂ = - 2. Bestimme die Keoffizienten der Gleichung!
Lösung:

• - p = x₁ + x₂ = 3 - 2 = 1 ⇒ p = - 1
• q = x₁ ⋅ x₂ = 3 ⋅ (-2) = - 6 ⇒ q = - 6

Die Gleichung lässt sich den schreiben: x² - x - 6 = 0.


Übungen: Löse folgende quadratische Gleichungen, mit PQ-Formel!

1. x² - 5x + 6 = 0
2. x² - 6x = 27
3. 3x² + 30x + 72 = 0

Zu den Lösungen

Answers

Indirekte Rede:

Bilde Sätze in der indirekten Rede. Achte auf die Änderung der Zeitformen und der Pronomen.

1. Samantha (she) said that _she was reading_ a book.
2. Martin and Jack (they) said that they were busy.
3. Jenny (she) said that she had woken up early this morning.
4. He said that he would ring her.
5. Samantha and Jack said that they had just arrived from school.
6. She said (that) she did not know where her shoes were.

Modale Hilfsverben: