Vertex form of a quadratic equation

All we need:

1. the Vertex formula (V)
   Vertex: V(h, k)
   and
2. a quadratic equation in the Vertex form
   Quadratic equation: ax² + bx + c = 0
   The Vertex form: y = a(x - h)² + k

Properties:

• a > 0, parabola opens upwards => Minimum
• a < 0, parabola opens downwards => Maximum

Example:

1. y = 2(x - 1)² + 3
• Vertex: (1, 3)
• 2 > 0, parabola opens upwards (see graph)



2. y = - 3(x + 3)² + 4
• Vertex: (-3, 4)
• - 3 < 0, parabola opens downwards (see graph)

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Modale Hilfsverben

Wichtig: Ein "Modal Auxiliary" (modales Hilfsverb) wird verwenden, um die Stimmung eines Verbs zu ändern‼! 

Can and Could

Can: wird verwendet, um die Fähigkeit, die Bereitschaft, das  Erlaubnis, oder die Möglichkeit  auszudrücken. Die Verneinung is  cannot oder can’t.

Bsple:

1. I can drive a car => Fähigkeit
2. Can you help me doing my homework? => Bereitschaft
3. Can I use your Bike? => Erlaubnis
4. Loud music can damage (schaden) your ears > Möglichkeit

Could: ist die Vergangenheitsform von “can”, kann aber auch can ersetzen als Bedingungsform (conditional) oder kann auch als might oder may benutz werden, um eine Möglichkeit auszudrücken. Die Verneining ist could not oder couldn’t.

May and Might

May: wird verwendet, um das Erlaubnis oder die Möglichkeit auszudrücken. Die Verneinung ist may not.

Bsple:

• I may come tomorrow => Möglichkeit (in der Zukunft)
• May I have a glass of water => Erlaubnis (darf Ich….)

Might: wird verwendet, um die Möglichkeit zu äußern. Es unterscheidet sich von may, indem die Möglichkeit, die sie ausdrückt normalerweise kleiner ist. Die Verneinung ist might not.

Bsple:

• I might become a doctor when I grow up, but I doubt it => Die Chance (Möglichkeit) ein Doktor zu sein ... ist gering (kleiner als bei may)

Must and Have 

Must: es drückt einen starken Glauben aus (belief). Dieser Glaube ist nicht basiert auf Fakten, sondern auf Logik. Zweitens drückt es eine Verpflichtung. Die Quelle der Verpflichtung ist introvertiert (aus sich selbst). Die Verneinung ist must not oder mustn’t (not allowed)

Bsple:

• My keys must be around here somewhere => Logischeweise, Ich glaube es… 
• I must go to school =>Verpflichtung. (bin nicht erwzungen aber Ich muss es tun!) 

Have to: es drückt auch einen starken Glauben. Der Glaube ist nicht basiert auf Fakten, sondern auf Logik. Zweitens drückt es eine Verpflichtung. die Quelle der Verpflichtung ist extrovertiert (von Ihrem Chef, dem Gesetz, oder einer Behörde).Die Verneinung ist do not have to oder don’t have to.

Bsple:

• John has to pass the math test to advance to the next grade => Logik
• My mum says (that) I have to make my bed =>Verpflichting

Need not oder Needn't

Need: es drückt eine Option(brauchen) aus! Die Verneinung needn’t oder don't need to (es ist nicht nötig).

Bsple:

• I need to work out my abilities => Brauchen
• We needn’t even be 11 players playing for each team => nicht nötig
• We don’t even need to be 11 players playing for each team.

Übung: 

Wähle die richtige Modalverb: can, can’t, could, couldn’t, may, may not, might, might not, must, mustn’t, should, shouldn’t, need, needn’t, have to, haven’t!

1. There are plenty of tomatoes in the fridge. You ___________ buy any.
2. It's a hospital. You ­­­­­­­­­­_________________ smoke.
3. He had been working for more than 11 hours. He _____________ be tired after such hard work. He _________________ prefer to get some rest.
4. Do you ___________ chew with your mouth open like that? Geez, it's making me sick watching you eat that piece of pizza.
5. I _____________ speak Arabic fluently when I was a child and we lived in Morocco. But after we moved back to Canada, I had very little exposure to the language and forgot almost everything I knew as a child. Now, I ____________ just say a few things in the language.
6. The teacher said we____________ read this book for our own pleasure as it is optional. But we______________ read it if we don't want to.
7. _______________you stand on your head for more than a minute? No, I ___________.
8. If you want to learn to speak English fluently, you _______________ to work hard.
9. Take an umbrella. It ____________ rain later.
10. You ____________ leave small objects lying around. Such objects ___________ be swallowed by children.
11. People ____________ walk on grass.
12. Drivers____________ stop when the traffic lights are red.
13. ___________ I ask a question? Yes, of course.
14. You _____________ take your umbrella. It is not raining.
15. __________you speak Italian? No, I __________.

Check Solutions

Roots of quadratic equation with quadratic formula

Exercises:

1. 3x² + 5x + 1 = 0

Check Solutions

Loesungen

Mit PQ-Formel gelöst:

1. x² - 5x - 6 = 0
   • x² - 5x - 6 = 0 (Standard Form)
   • "p" und "q" rausfinden
   Im vergleich mit der Standard Form der PQ-Formel, haben wir: p = - 5 und q = - 6:
   • "p" und "q" in der PQ-Formel einsetzen:
   x_1/2 = - (^{- 5}/₂) ± √((^{- 5}/₂)² - (- 6)) => x_1/2 = 2,5 ± 3,5
   • x₁ = 2,5 + 3,5 = 6 => x₁ = 6
   und
   x₂ = 2,5 - 3,5 = - 1 => x₂ = - 1
   Die Gleichung hat die Lösung: L = {- 1 | 6}
2. x² - 6x = 27
   • x² - 6x = 27| -27 (in der Standard Form bringen)
     => x² - 6x - 27 = 0
   • "p" und "q" rausfinden
     => p = - 6, q = - 27
   • "p" und "q" in der PQ-Formel einsetzen:
   x_1/2 = - (^{- 6}/₂) ± √((^{- 6}/₂)² - (- 27)) => x_1/2 = 3 ± 6
   • x₁ = 3 + 6 = 9 => x₁ = 9
   und
   x₂ = 3 - 6 = - 3 => x₂ = - 3
   Die Gleichung hat die Lösung: L = {- 3 | 9}
3. 3x² + 30x + 72 = 0
   • 3x² + 30x + 72 = 0 | :3 (in der Standard Form bringen)
     => x² + 10x + 24 = 0
   • "p" und "q" rausfinden
     => p = 10, q = 24
   • "p" und "q" in der PQ-Formel einsetzen:
   x_1/2 = - (¹⁰/₂) ± √((¹⁰/₂)² - 24) => x_1/2 = - 5 ± 1
   • x₁ = - 5 + 1 = - 4 => x₁ = - 4
   und
   x₂ = - 5 - 1 = - 6 => x₂ = - 6
   Die Gleichung hat die Lösung: L = {- 6 | - 4}

Scheitelpunkt:

Solutions Quadratic Equations:

1. 3x² + 5x + 1 = 0
   to solve this equation we need 2 formulas:
   
   • a quadratic equation in standard form
   ax² + bx + c = 0, with a, b and c constant numbers and a # 0
   and
   
   • a quadratic formula
   x_1/2 = ^{(- b ± √(b2 - 4ac))} / _2a
³/₃x² + ⁵/₃x + ¹/₃x⁰ = 0 (x⁰ = 1) | (:3 to bring the eq. to a standard form)
a = 1 | b = 1.66 | c = 0.33 (by comparing with the standard form)
the Discriminant Δ = b² - 4ac = 1.66² - 4 ⋅1⋅0.33 = 1.435 > 0 => 2 solutions x₁ and x₂
x_1/2 = ^{(- 1.66 ± √(1.662 - 4⋅1⋅0.33))} / _2⋅1 = - 0.83 ± 0.6
x₁ = - 0.83 + 0.6 = - 0.23 => x₁ = - 0.23 | x₂ = - 0.83 - 0.6 = - 1.43 => x₂ = - 1.43
The final solution S = { - 1.43 | - 0.23}

Quadratiche Gleichugen

Quadratische Gleichung

Definition:
Es handelt sich um eine Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 oder eine Gleichung die man auf diese Form bringen kann. Dabei sind a, b und c irgendwelche Zahlen wobei a ungleich Null (a # 0) sein muss

N.B.: Die Graphe einer Quadratischen Gleichung ist eine Parabel

Beispiele:

1. 3x² + 5x + 3 = 0
2. x² + 2x + 7 = 0

Quadratische Gleichung mit PQ-Formel Lösen

• Die Gleichung ist: x² + px + q = 0
• Die Lösung: x_1/2 = - ^p⁄₂ ± √((^p⁄₂)² - q)

So wird es gelöst:

• Die Gleichung in die Form x² + px + q = 0 bringen;
• ″p″ und ″q″ rausfinden;
• Dies in die PQ-Formel einsetzen;
• Die Lösung damit Berechnen.

Beispiel:

• 3x² + 5x + 1 = 0 | :3 (in der Standard Form bringen)
⇒ x² + ⁵⁄₃x + ¹⁄₃ = 0;
• p = 1,66 und q = 0,33;
• x_1/2 = - 0,83 ± 0,6;
• x₁ = -0,83 + 0,6 = - 0,23 ⇒ x₁ = - 0,23
und
x₂ = -0,83 - 0,6 = - 1,43 ⇒ x₂ = - 1,43

Satz von Vieta: Seien x₁ und x₂ die Lösungen der quadratischen Gleichung x²+ px + q = 0, dann gilt:

1. x₁ + x₂ = - p;
2. x₁ ⋅ x₂ = q.

Beispiel: x² + px + q = 0 hat die Lösungen x₁ = 3 und x₂ = - 2. Bestimme die Keoffizienten der Gleichung!
Lösung:

• - p = x₁ + x₂ = 3 - 2 = 1 ⇒ p = - 1
• q = x₁ ⋅ x₂ = 3 ⋅ (-2) = - 6 ⇒ q = - 6

Die Gleichung lässt sich den schreiben: x² - x - 6 = 0.


Übungen: Löse folgende quadratische Gleichungen, mit PQ-Formel!

1. x² - 5x + 6 = 0
2. x² - 6x = 27
3. 3x² + 30x + 72 = 0

Zu den Lösungen

Answers

Indirekte Rede:

Bilde Sätze in der indirekten Rede. Achte auf die Änderung der Zeitformen und der Pronomen.

1. Samantha (she) said that _she was reading_ a book.
2. Martin and Jack (they) said that they were busy.
3. Jenny (she) said that she had woken up early this morning.
4. He said that he would ring her.
5. Samantha and Jack said that they had just arrived from school.
6. She said (that) she did not know where her shoes were.

Modale Hilfsverben:

Indirekte Rede

Verschiebung von Zeitformen (mit Backshift)

vom	ins
Simple Present John: “I work in the garden.”	Simple Past John said (that) she worked in the garden.
Simple Past John: “I worked in the garden.”
Present Perfect John: “I have worked in the garden.”	Past Perfect John said (that) she had worked in the garden.
Past Perfect John: “I had worked in the garden.”
will-future John: “I will work in the garden.”	would + infinitive John said (that) she would work in the garden.
I am going-to + infinitive John: “I am working in the garden.”	I was going to + infinitive John said (that) she was working in the garden.
can John: “I can work in the garden.”	could John said (that) she could work in the garden.
may John: “I may work in the garden.”	might John said (that) she might work in the garden.

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