Lösung zur Trigonometrie (2)

Lösung 3:

Abb. Symmetrisches Trapez

Gegeben: a = 9,2cm, b = 4,0cm, α = 40°
Für ein Symmetrisches Trapez gilt:
• b = d = 4,0cm, AF = GB , FG = DC (c), FD (h) =GC
• α = β = 40°, γ = δ (δ = delta) und α + β + γ + δ = 360°
• Flächeninhalt A = ^{(a + c)·h}/₂
Gesucht: c, h, γ und A
Bekannt:
α + β + γ + δ = 360°
⇒ 40° + 40° + 2γ = 360°  |   −80°
⇒ 2γ = 280   |   ÷2;
⇒ γ = 140°     γ = 140°
γ = δ ⇒ δ = 140°

sin α = ^h/_d  |   ·d
⇒ h = d·sin 40° = 4,0·sin 40°,     h = 2,57cm

tan α = ^h/_AF  |   ·(−1)
⇒ ¹/_{tan α} = ^AF/_h  |   ·h
⇒ AF = ^h/_{tan α} = ^2,57cm/_{tan 40°},     AF = 3,05cm

Die Grundseite a = AF + FG +GB, AF = GB
⇒ a = 2AF + FG   |   −2AF
⇒ FG = a − 2AF = 9,2cm − 2·3,05cm,     FG = 3,1cm
Mit FG = DC = c, haben wir c = 3,1cm

Flächeninhalt A = ^{(a + c)·h}/₂ = ^{(9.2cm + 3,1cm)·2,57cm}/₂ = 15,80cm²     A = 15,80cm²


Gegeben: a = 5,1cm, h = 3,2cm, γ = 108°
Gesucht: b = d, c, α = β und A

γ = δ = 108°
360° = α + β + γ + δ = 2α + 2γ = 2α + 216  |  −216°
144° = 2α   |  ÷2
⇒ α = β = 72°

sin α = ^h/_d   |  ·(−1)
⇒ ¹/_{sin α} = ^d/_h   |  ·h
⇒ d = ^h/_{sin α} = ^3,2cm/_{sin 72°} = 3,36cm
d = b = 3,36cm

AF = GB
cos 72° = ^AF/_d   |  ·d
⇒ AF = d·cos 72° = 3,36cm·cos 72°
⇒ AF = GB = 1,04cm

FG = c, a = 5,1cm
5,1cm = 1,04cm + FG + 1,04cm = 2,08 + FG   |  −2,08      ⇒ c = FG = 3,02cm

A = ^{(a + c)·h}/₂ = ^{(5,1cm + 3,02cm)·3,2cm}/₂    ⇒   A ≈ 13cm²


Gegeben: b = 7,5cm, c = 3,4cm, h = 5,0cm
Gesucht: d, a, α = β γ = δ, AF = GB und A



Merke

Wie bei a) und b) sind immer wieder die Gleiche Formeln benutzt um die fehlende Größe zu berechnen!

So:
- d = b = 7,5cm
- sin α = ^h/_d = ^5,0cm/_7,5 = 0,66
  ⇒ sin α = 0,66   |   ÷sin
  ⇒ α = β ≈ 41,3°
- cos α = ^AF/_d ⇔ AF = d·cos 41,3° = 7,5cm·cos 41,3°
  ⇒ AF = GB = 5,63cm und FG = c = 3,4cm
- 360° = α + β + γ + δ = 2α + 2γ = 82,6° + 2γ
⇒ 360° = 82,6° + 2γ   |   −82,6°
  2γ = 277,4   |   ÷2
  ⇒ γ = δ = 138,7°
- a = AF + FG + GB = 5,63cm + 3,4cm + 5,63cm
  ⇒ a =14,66cm
- A = ^{(a + c)·h}/₂ = A = ^{(14,66cm + 3,4cm)·7,5cm}/₂
  ⇒ A = 67,72cm²


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Lösung 4:

Symmetrischer Drache

a)

• Länge der Diagonale e im Verhältnis 1:2

Gegeben: α = 39°, f = 7cm
Gesucht: e, A
f teilt die Diagonale e im Verhältnis 1:2 bedeudet daß die ganze Strecke e gleich 3 ist und f teilt e genau an der Teile 1 (also ^e/₃) (Siehe Abb.1).



Abb.1: Drache im Koordinaten System (Leicht erklärt)
so haben wir:
tan (^α/₂) = ^f/₂ ÷ ^e/₃   |   ·(−1)
   ⇒ ¹/_{tan (^α/2)} = ^e/₃ ÷ ^f/₂   |   ·^f/₂
   ⇒ ^e/₃ = ^f/₂ · ¹/_{tan (^α/2)}   |   ·3
   ⇒ e = 3( ^f/₂ · ¹/_{tan (^α/2)})

Bekannte Werte einsetzen: ^f/₂ = ⁷/₂ = 3,5cm; α = 39° und ^α/₂ = 19,5°
   ⇒ e = 3(3,5cm · 2,82) = 29,66 cm


• Flächeninhalt A des Drachenvierecks
A = ^(e·f)/₂ = ^{(29,66cm · 7cm)}/₂ = 103,81 cm    ⇒ A = 103,8 cm²

b)
Gesucht: β, γ, a und b

• DM = MB = 3,5cm, ^α/₂ = 19,5°
tan 19,5° = ^3,5cm/_AM
⇒ AM = ^3,5cm/_0,35,    ⇒ AM = 9,88cm
cos 19,5° = ^AM/_a = ^9,88cm/_a   |   ·a
   ⇒ a = 10,48cm

• In dem Dreieck AMB (β₁), ist der gesamte Winkel: ^α/₂ + 90° + ^β₁/₂ = 180°
^α/₂ = 19,5°
⇒ 19,5° + 90° + ^β₁/₂ = 180°   |   −109,5°
⇒ ^β₁/₂ = 70,5°    ⇒ ^β₁/₂ = 70,5°

• In dem Dreieck BMC, ist ^f/₂ = 3,5cm, und ^2e/₃ = 19,77cm die Länge MC:
  so, tan (^γ/₂) = ^3,5cm/_19,77cm = 0,177   |   ÷tan
  ⇒ ^γ/₂ = tan⁻¹ (0.177) = 10,03° und γ = 20,06°
  
  wieder in BMC: β₂
  ^γ/₂ + 90° + ^β₂/₂ = 180° ⇔ 10,03° + 90° + ^β₂/₂ = 180°   |   −100,03°
  ⇒ ^β₂/₂ ≈ 80°
  
  β = ^β₁/₂ + ^β₂/₂ = 150.5° ⇒ β = θ = 150,5° (θ gegen winkel zu β)
  
  der gesamte Winkel: α + β + γ + θ = 360°
  
  
• In dem Dreieck BMC, sind die Winkeln: ^β₂/₂ = 80°, ^γ/₂ = 10,03° und DM = MB = 3,5cm
sin (10,03°) = ^3,5cm/_b   |   ·(−1)
⇒ ¹/_{sin (10,03°)} = ^b/_3,5cm   |   ·3,5cm
⇒ b = ^3,5cm/_{sin (10,03°)} ≈ 20,1cm
⇒ b ≈ 20,1cm

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Lösung 5:

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